Данный обзор является введением в новейший раздел теории симметрий — теории квантовых групп.
Основы теории квантовых групп рассматриваются с точки зрения возможности их использования для деформаций симметрий в физических моделях. Подробно обсуждается R матричный подход к теории квантовых групп, который положен в основу квантования классических групп Ли, а также некоторых супергрупп Ли. Мы начинаем с изложения основ некоммутативных и некокоммутативных алгебр Хопфа. Большое внимание уделено R-матрицам Гекке и Бирман-Мураками-Венцля (BMW) и связанным с ними квантовым матричным алгебрам. Обсуждается некоммутативная дифференциальная геометрия на квантовых группах специальных типов. Представлены тригонометрические решения уравнений Янга-Бакстера, связанных с квантовыми группами GL_q(N), SO_q(N), Sp_q(2n) и супергруппами GL_q(N|M), Osp_q(N|2m), а также рациональные (янгианские) пределы этих решений. Также рассматриваются рациональные R-матрицы для исключительных алгебр Ли и эллиптические решения уравнения Янга Бакстера. Изложены основные понятия групповой алгебры группы кос и ее конечномерных факторов (таких как алгебры Гекке и BMW). Дан набросок теорий представлений алгебр Гекке и BMW, включая методы нахождения идемпотентов (квантовых проекторов Юнга) и их квантовых размерностей. Кратко обсуждаются приложения теории квантовых групп и уравнений Янга-Бакстера в различных областях теоретической физики.
Это модифицированная версия обзорной статьи, опубликованной в 2004 году в виде
препринта Института математики Макса Планка в Бонне.